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当前位置: 高考学习网 > 2018届高三数学(理)二轮复习课时作业:第1部分 专题5 第1讲 直线与圆

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资料类别: 数学/同步

所属版本: 通用

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一、选择题
1.过点P(2,3),并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程为(  )
A.x-y+1=0
B.x-y+1=0或3x-2y=0
C.x+y-5=0
D.x+y-5=0或3x-2y=0
解析:当l过原点时,适合题意.当l不过原点时,其斜率为正值,故选B.
答案:B
2.(2017·银川模拟)若直线l1:x+ay+6=0与l2:(a-2)x+3y+2a=0平行,则l1与l2间的距离为(  )
A.  B.
C.  	D.
解析:由l1l2得(a-2)a=1×3,且a×2a≠3×6,解得a=-1,
l1:x-y+6=0,l2:x-y+=0,
l1与l2间的距离d==,
故选B.
答案:B
3.直线(a+1)x+(a-1)y+2a=0(aR)与圆x2+y2-2x+2y-7=0的位置关系是(  )
A.相切 	B.相交
C.相离 	D.不确定
答案:B
4.(2017·湖北七市联考)将直线x+y-1=0绕点(1,0)沿逆时针方向旋转15°得到直线l,则直线l与圆(x+3)2+y2=4的位置关系是(  )
A.相交 	B.相切
C.相离 	D.相交或相切
解析:依题意得,直线l的方程是y=
tan 150°(x-1)=-(x-1),即x+y-1=0,圆心(-3,0)到直线l的距离d==2,因此该直线与圆相切.
答案:B
5.(2017·青岛模拟)已知A(1,2),B(3,1)两点到直线l的距离分别是,-,则满足条件的直线l共有(  )
A.1条 	B.2条
C.3条 	D.4条
解析:当A,B两点位于直线l的同一侧时,一定存在这样的直线l,且有两条.又|AB|==,而点A到直线l与点B到直线l的距离之和为+-=,所以当A,B两点位于直线l的两侧时,存在一条满足条件的直线.综上可知满足条件的直线共有3条.
答案:C
6.(2017·开封模拟)已知直线l:x-y+4=0与圆C:(x-1)2+(y-1)2=2,则圆C上的点到直线l的距离的最小值为(  )
A.  	B.
C.1 	D.3
解析:由题意知,圆C上的点到直线l的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线l的距离减去圆的半径,即-=.
答案:A
7.已知直线l过圆x2+(y-3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则直线l的方程为(  )
A.x+y-2=0 	B.x-y+2=0
C.x+y-3=0 	D.x-y+3=0
解析:由已知得,圆心为(0,3),所求直线的斜率为1,由直线方程的斜截式得,y=x+3,即x-y+3=0,故选D.
答案:D
8.已知直线x+y-k=0(k>0)与圆x2+y2=4交于不同的两点A,B.O是坐标原点,且有|+|≥||,那么k的取值范围是(  )
A.(,+∞) 	B.[,+∞)
C.[,2) 	D.[,2)
解析:当|+|=||时,O,A,B三点为等腰三角形的三个顶点,其中OA=OB,AOB=120°,从而圆心O到直线x+y-k=0(k>0)的距离为1,此时k=;当k>时,|+|>||,又直线与圆x2+y2=4有两个不同的交点,故k<2.综上,k的取值范围为[,2).
答案:C
二、填空题
9.(2016·高考天津卷)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0,)在圆C上,且圆心到直线2x-y=0的距离为,则圆C的方程为________.
解析:设圆C的方程为(x-a)2+y2=r2(a>0),
由题意可得
解得所以圆C的方程为(x-2)2+y2=9.
答案:(x-2)2+y2=9
10.过点P(-,0)作直线l与圆O:x2+y2=1交于A、B两点,O为坐标原点,设AOB=θ,且θ,当AOB的面积为时,直线l的斜率为________.
解析:由题意得|OA|=|OB|=1,AOB的面积为,
×1×1×sin θ=,sin θ=,
θ∈,θ=,
AOB为正三角形,圆心(0,0)到直线l的距离为,
设直线l的方程为y=k(x+),即kx-y+k=0,
=,k=±.
答案:±
11.点P(1,2)和圆C:x2+y2+2kx+2y+k2=0上的点的距离的最小值是________.
解析:圆的方程化为标准式为(x+k)2+(y+1)2=1.
圆心C(-k,-1),半径r=1.
易知点P(1,2)在圆外.
点P到圆心C的距离为:
|PC|==≥3.
|PC|min=3.
点P和圆C上点的最小距离dmin=|PC|min-r=3-1=2.
答案:2
12.(2017·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中,A(-12,0),B(0,6),点P在圆O:x2+y2=50上,若·≤20,则点P的横坐标的取值范围是________.
解析:法一:因为点P在圆O:x2+y2=50上,
所以设P点坐标为(x,±)(-5≤x≤5),
因为A(-12,0),B(0,6),
所以=(-12-x,-)或=(-12-x,),
=(-x,6-)或=(-x,6+),
因为·≤20,先取P(x,)进行计算,
所以(-12-x)·(-x)+(-)(6-)≤20,
即2x+5≤.
当2x+5≤0,即x≤-时,上式恒成立;
当2x+5≥0,即x≥-时,(2x+5)2≤50-x2,
解得-≤x≤1,故x≤1.
同理可得P(x,-)时,x≤-5.
又-5≤x≤5,所以-5≤x≤1.
故点P的横坐标的取值范围为[-5,1].
法二:设P(x,y),则=(-12-x,-y),=(-x,6-y).
·≤20,(-12-x)·(-x)+(-y)·(6-y)≤20,
即2x-y+5≤0.
如图,作圆O:x2+y2=50,直线2x-y+5=0与O交于E,F两点, 
P在圆O上且满足2x-y+5≤0,
点P在上.
由得F点的横坐标为1,
又D点的横坐标为-5,
P点的横坐标的取值范围为[-5,1].
答案:[-5,1]
三、解答题
13.在平面直角坐标系xOy中,曲线y=x2-6x+1与坐标轴的交点都在圆C上.
(1)求圆C的方程;
(2)若圆C与直线x-y+a=0交于A,B两点,且OAOB,求a的值.
解析:(1)曲线y=x2-6x+1与y轴的交点为(0,1),与x轴的交点为(3+2,0),(3-2,0),
故可设圆C的圆心为(3,t),则有32+(t-1)2=(2)2+t2,解得t=1.
则圆C的半径为=3.
所以圆C的方程为(x-3)2+(y-1)2=9.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),其坐标满足方程组:
消去y,得到方程2x2+(2a-8)x+a2-2a+1=0.
由已知可得,Δ=56-16a-4a2>0.
由根与系数的关系可知x1+x2=4-a,x1x2=.
由OAOB,可得x1x2+y1y2=0,又y1=x1+a,y2=x2+a,所以2x1x2+a(x1+x2)+a2=0.
由得a=-1,满足Δ>0,故a=-1.
14.在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为圆心的圆被直线x-y+4=0截得的弦长为2.
(1)求圆O的方程;
(2)若斜率为2的直线l与圆O相交于A,B两点,且点D(-1,0)在以AB为直径的圆的内部,求直线l在y轴上的截距的取值范围.
解析:(1)设x2+y2=r2,圆心(0,0)到直线x-y+4=0的距离d=2,又因为截得的弦长为2,所以r==,圆O的方程为x2+y2=7.
(2)设斜率为2的直线l的方程为y=2x+b,
与圆相交于A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2).
由得5x2+4bx+b2-7=0,
则
已知点D(-1,0)在以AB为直径的圆的内部,所以·<0,即·=(x1+1,y1)·(x2+1,y2)=5x1x2+(2b+1)(x1+x2)+b2+1=--6<0,解得-30.
所以直线l在y轴上的截距的取值范围为(-3,5).
15.(2017·高考全国卷)在直角坐标系xOy中,曲线y=x2+mx-2与x轴交于A,B两点,点C的坐标为(0,1).当m变化时,解答下列问题:
(1)能否出现ACBC的情况?说明理由.
(2)证明过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.
解析:(1)不能出现ACBC的情况.理由如下:
设A(x1,0),B(x2,0),则x1,x2满足x2+mx-2=0,
所以x1x2=-2.
又点C的坐标为(0,1),
故AC的斜率与BC的斜率之积为·=-,
所以不能出现ACBC的情况.
(2)证明:BC的中点坐标为,可得BC的中垂线方程为y-=x2.
由(1)可得x1+x2=-m,
所以AB的中垂线方程为x=-,
联立
又x+mx2-2=0,可得
所以过A,B,C三点的圆的圆心坐标为,半径r=.
故圆在y轴上截得的弦长为
2 =3,
即过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.






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