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当前位置: 高考学习网 > 2018届高三数学(理)二轮复习课时作业:第1部分 专题1 第5讲 导数的应用(1)

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资料类别: 数学/同步

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A组——高考热点强化练
一、选择题
1.曲线y=ex在点A处的切线与直线x+y+3=0垂直,则点A的坐标为(  )
A.(-1,e-1)     	B.(0,1)
C.(1,e) 	D.(0,2)
解析:与直线x+y+3=0垂直的直线的斜率为1,所以切线的斜率为1,因为y′=ex,所以由y′=ex=1,解得x=0,此时y=e0=1,即点A的坐标为(0,1),选B.
答案:B
2.已知函数f(x)=x2+2cos x,若f′(x)是f(x)的导函数,则函数f′(x)在原点附近的图象大致是(  )

解析:因为f′(x)=2x-2sin x,[f(x)]′=2-2cos x≥0,所以函数f′(x)在R上单调递增,故选A.
答案:A
3.曲线f(x)=xln x在点(1,f(1))处的切线的倾斜角为(  )
A.  B.
C.  	D.
解析:因为f(x)=xln x,所以f′(x)=ln x+1,所以f′(1)=1,所以曲线f(x)=xln x在点(1,f(1))处的切线的倾斜角为.
答案:B
4.如图是f(x)的导函数f′(x)的图象,则f(x)的极小值点的个数为(  )
A.1 	B.2
C.3 	D.4
解析:由题意知在x=-1处f′(-1)=0,且其左右两侧导数符号为左负右正.
答案:A
5.函数f(x)=x2-ln x的最小值为(  )
A. 	B.1
C.0 	D.不存在
解析:f′(x)=x-=,且x>0.令f′(x)>0,得x>1;令f′(x)<0,得00得00,即(ex-1)·(x+1)>0,解得x(-∞,-1)或x(0,+∞).所以函数f(x)的单调增区间为(-∞,-1)和(0,+∞).
答案:(-∞,-1)和(0,+∞)
11.函数f(x)=x3-3x2+6在x=________时取得极小值.
解析:依题意得f′(x)=3x(x-2).当x<0或x>2时,f′(x)>0;当00,故f(x)在(5,+∞)内为增函数.由此知函数f(x)在x=5时取得极小值f(5)=-ln 5.
14.设函数f(x)=(aR).
(1)若f(x)在x=0处取得极值,确定a的值,并求此时曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)若f(x)在[3,+∞)上为减函数,求a的取值范围.
解析:(1)对f(x)求导得f′(x)==,
因为f(x)在x=0处取得极值,所以f′(0)=0,即a=0.
当a=0时,f(x)=,f′(x)=,
故f(1)=,f′(1)=,
从而f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-=(x-1),
化简得3x-ey=0.
(2)由(1)知f′(x)
=
令g(x)=-3x2+(6-a)x+a,
由g(x)=0解得x1=,
x2=.
当x0,即f′(x)>0,
故f(x)为增函数;
当x>x2时,g(x)<0,即f′(x)<0,故f(x)为减函数.
由f(x)在[3,+∞)上为减函数,知x2=≤3,解得a≥-,故a的取值范围为.
15.(2017·高考北京卷)已知函数f(x)=excos x-x.
(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.
解析:(1)因为f(x)=excos x-x,
所以f′(x)=ex(cos x-sin x)-1,f′(0)=0.
又因为f(0)=1,
所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=1.
(2)设h(x)=ex(cos x-sin x)-1,则
h′(x)=ex(cos x-sin x-sin x-cos x)=-2exsin x.
当x时,h′(x)<0,
所以h(x)在区间上单调递减.
所以对任意x有h(x)<h(0)=0,即f′(x)<0.
所以函数f(x)在区间上单调递减.
因此f(x)在区间上的最大值为f(0)=1,最小值为f=-.
B组——高考能力提速练
一、选择题
1.函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示,则下列结论成立的是(  )
A.a>0,b<0,c>0,d>0
B.a>0,b<0,c<0,d>0
C.a<0,b<0,c>0,d>0
D.a>0,b>0,c>0,d<0
解析:函数f(x)的图象在y轴上的截距为正值,d>0.∵f′(x)=3ax2+2bx+c,且函数f(x)=ax3+bx2+cx+d在(-∞,x1)上单调递增,(x1,x2)上单调递减,(x2,+∞)上单调递增,f′(x)<0的解集为(x1,x2),a>0,又x1,x2均为正数,>0,->0,可得c>0,b<0.
答案:A
2.设函数f(x)=x-2sin x是区间上的减函数,则实数t的取值范围是(  )
A.(kZ)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
解析:由题意得f′(x)=1-2cos x≤0,即cos x≥,解得2kπ-≤x≤2kπ+(kZ),f(x)=x-2sin x是区间上的减函数,⊆,2kπ-≤t≤2kπ-(kZ),故选A.
答案:A
3.(2017·重庆模拟)若直线y=ax是曲线y=2ln x+1的一条切线,则实数a=(  )
解析:依题意,设直线y=ax与曲线y=2ln x+1的切点的横坐标为x0,则有y′|x=x0=,于是有
解得x0=,a==2,选B.
答案:B
4.已知函数f(x)=x3+3x2-9x+1,若f(x)在区间[k,2]上的最大值为28,则实数k的取值范围为(  )
A.[-3,+∞) 	B.(-3,+∞)
C.(-∞,-3) 	D.(-∞,-3]
解析:由题意知f′(x)=3x2+6x-9,令f′(x)=0,解得x=1或x=-3,所以f′(x),f(x)随x的变化情况如下表:
x	(-∞,-3)	-3	(-3,1)	1	(1,+∞)		f′(x)	+	0	-	0	+		f(x)	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增		又f(-3)=28,f(1)=-4,f(2)=3,f(x)在区间[k,2]上的最大值为28,所以k≤-3.
答案:D
5.(2017·湖南四校联考)已知S1=xdx,S2=exdx,S3=x2dx,则S1,S2,S3的大小关系为(  )
A.S1-
C.-e0,所以由g′(x)=0,解得x=-1,
当x>-1时,g′(x)>0,函数g(x)为增函数;当x<-1时,g′(x)<0,函数g(x)为减函数,所以当x=-1时函数g(x)有最小值:g(-1)=-e-1=-.画出函数y=xex的图象,如图所示,显然当-0,-10时,y=eax在(0,2]上的最大值e2a≤2,所以02,则f(x1)与f(x2)的大小关系是(  )
A.f(x1)f(x2) 	D.不确定
解析:由(x-1)f′(x)<0可知,当x>1时,f′(x)<0,函数单调递减.当x<1时,f′(x)>0,函数单调递增.因为函数f(x+1)是偶函数,所以f(x+1)=f(1-x),f(x)=f(2-x),即函数f(x)图象的对称轴为x=1.所以,若1≤x1f(x2);若x1<1,则x2>2-x1>1,此时有f(x2)f(x2).综上,必有f(x1)>f(x2),选C.
答案:C
二、填空题
9.定积分dx=________.
解析:本题考查定积分的几何意义.由y=得x2+y2=16(y>0),所以dx表示以原点为圆心,半径为4的圆的面积的,
所以dx=×π×42=4π.
答案:4π
10.已知函数f(x)=x2+2ax-ln x,若f(x)在区间上是增函数,则实数a的取值范围为________.
解析:由题意知f′(x)=x+2a-≥0在上恒成立,即2a≥-x+在上恒成立.
又y=-x+在上单调递减,
max=,
2a≥,即a≥.
答案:
11.已知函数f(x)=ln x,则函数g(x)=f(x)-f′(x)在区间[2,e]上的最大值为________.
解析:因为f(x)=ln x,所以f′(x)=,则g(x)=f(x)-f′(x)=ln x-,函数g(x)的定义域为(0,+∞),g′(x)=+>0在x(0,+∞)上恒成立,所以函数g(x)在(0,+∞)上是增函数,所以g(x)在区间[2,e]上的最大值g(x)max=g(e)=ln e-=1-.
答案:1-
12.已知y=f(x)为R上的连续可导函数,且xf′(x)+f(x)>0,则函数g(x)=xf(x)+1(x>0)的零点个数为________.
解析:本题考查导数在函数中的应用,考查考生的构造思想.设F(x)=xf(x),则F′(x)=f(x)+xf′(x)>0在R上恒成立,且F(0)=0,所以F(x)=xf(x)>0在(0,+∞)上恒成立,所以在(0,+∞)上g(x)=xf(x)+1>1恒成立,则函数g(x)=xf(x)+1的零点个数为0.
答案:0
三、解答题
13.已知函数f(x)=ln x-.
(1)若a>0,试判断f(x)在定义域内的单调性;
(2)若f(x)在[1,e]上的最小值为,求a的值.
解析:(1)x(0,+∞),f′(x)=+=(a>0),
显然f′(x)>0,故f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数.
(2)由(1)可知,f′(x)=.
若a≥-1,则当x(1,e)时,x+a>0,即f′(x)>0,故f(x)在[1,e]上为增函数,
f(x)min=f(1)=-a=,a=-(舍去).
若a≤-e,则当x(1,e)时,x+a<0,即f′(x)<0,故f(x)在[1,e]上为减函数,
f(x)min=f(e)=1-=,a=-(舍去).
若-e0,f(x)在(-a,e)上为增函数.
f(x)min=f(-a)=ln(-a)+1=,a=-.
综上所述,a=-.
14.(2017·山东潍坊模拟)已知函数f(x)=+bln x,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=x.
(1)求函数f(x)的单调区间及极值;
(2)若x≥1,f(x)≤kx恒成立,求k的取值范围.
解析:(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=,
故f′(1)=b-a=1,
又f(1)=a,点(1,a)在直线y=x上,
a=1,则b=2.
f(x)=+2ln x且f′(x)=,
当0时,f′(x)>0.
故函数f(x)的单调增区间为,单调减区间为,
f(x)极小值=f=2-2ln 2,无极大值.
(2)由题意知,k≥=+(x≥1)恒成立,
令g(x)=+(x≥1),
则g′(x)=-=(x≥1),
令h(x)=x-xln x-1(x≥1),
则h′(x)=-ln x(x≥1),
当x≥1时,h′(x)≤0,h(x)在[1,+∞)上为减函数,故h(x)≤h(1)=0,故g′(x)≤0,
g(x)在[1,+∞)上为减函数,
故g(x)的最大值为g(1)=1,k≥1.
15.已知函数f(x)=ax2+xln x.
(1)若a=1,求函数f(x)的图象在(e,f(e))处的切线方程.
(2)若a=-e,证明:方程2|f(x)|-3x=2ln x无解.
解析:(1)依题意,知f(e)=e2+e,f′(x)=2x+ln x+1,故f′(e)=2e+2,
故所求切线方程为y-e2-e=(2e+2)·(x-e),即(2e+2)x-y-e2-e=0.
(2)证明:依题意,有2|ax2+xln x|-3x=2ln x,即2|ax2+xln x|=2ln x+3x,
亦即|ax+ln x|=+.
令g(x)=ax+ln x,当a=-e时,g(x)=-ex+ln x,则g′(x)=,令g′(x)=0,
得x=,
令g′(x)>0,得x,所以函数g(x)在上单调递增,
令g′(x)<0,得x,
所以函数g(x)在上单调递减,
所以g(x)max=g=-e·+ln =-2,所以|g(x)|≥2,
令h(x)=+,则x(0,+∞),
h′(x)=.
令h′(x)>0,得x(0,e),所以函数h(x)在(0,e)上单调递增,
令h′(x)<0,得x(e,+∞),所以函数h(x)在(e,+∞)上单调增减,
所以h(x)max=h(e)=+=+<2,
即h(x)<2,
所以|g(x)|>h(x),即2|f(x)|-3x>2ln x,
所以方程2|f(x)|-3x=2ln x无解.




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